THE CAUCHY PROBLEM FOR A NONLINEAR HIROTA-TYPE EQUATION WITH A SELF-CONSISTENT SERIES SOURCE

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription or Fee Access

Abstract

In this paper the inverse spectral problem method is applied to integrate a nonlinear Hirota-type equation with a self-consistent series source in the class of periodic infinite-gap functions. An infinite system of differential equations is derived that describes the evolution of spectral data for the periodic Dirac operator. The solvability of the Cauchy problem for this system in the class of six times continuously differentiable periodic infinite-gap functions is proved. In addition, an algorithm for finding infinite-gap solution of the Cauchy problem for a Hirota-type equation with a self-consistent series source is proposed, and an exact solution is found in the case of the single-gap case for the Dirac operator.

About the authors

A. B. Khasanov

Samarkand State University named after Sharof Rashidov; V.I. Romanovsky Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Email: ahasanov2002@mail.ru
Samarkand, Uzbekistan; Tashkent, Uzbekistan

R. Kh. Eshbekov

Samarkand State University named after Sharof Rashidov

Email: rayronbek@mail.ru
Samarkand, Uzbekistan

References

  1. A method for solving the Korteweg–de Vries equation / S. Gardner, I. Green, M. Kruskal, R. Miura // Phys. Rev. Lett. — 1967. — V. 19, № 19. — P. 1095–1098.
  2. Фаддеев, Л.Д. Свойства -матрицы одномерного уравнения Шредингера / Л.Д. Фаддеев // Тр. Мат. ин-та имени В.А. Стеклова. — 1964. — Т. 73. — С. 314–336.
  3. Левитан, Б.М. Обратные задачи Штурма–Лиувилля / Б.М. Левитан. — М. : Наука, 1984. — 240 с.
  4. Захаров, В.Е. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах / В.Е. Захаров, А.Б. Шабат // Журн. эксп. и теор. физики. — 1971. — Т. 61, № 1. — С. 118–134.
  5. Wadati, M. The exact solution of the modified Korteweg–de Vries equation / M. Wadati // J. Phys. Soc. Jpn. — 1972. — V. 32, № 6. — Art. 1681.
  6. Method for solving the sine-Gordon equation / M.J. Ablowitz, D.J. Kaup, A.C. Newell, H. Segur // Phys. Rev. Lett. — 1973. — V. 30, № 25. — P. 1262–1264.
  7. Hirota, R. Exact envelop-soliton solutions of a nonlinear wave equation / R. Hirota // J. Math. Phys. — 1973. — V. 14. — P. 805–809.
  8. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, Х. Моррис ; пер. с англ. В.П. Гурария, В.И. Мацаева ; под ред. А.Б. Шабата. — М. : Мир, 1988. — 694 с.
  9. Khasanov, A.B. On the sine-Gordon equation with a self-consistent source corresponding to multiple eigenvalues / A.B. Khasanov, G.U. Urazboev // Differ. Equat. — 2007. — V. 43, № 4. — P. 561–570.
  10. Итс, А.Р. Операторы Шредингера с конечнозонным спектром и -солитонные решения урав- нения Кортевега–де Фриса / А.Р. Итс, В.Б. Матвеев // Теор. и мат. физика. — 1975. — Т. 23, № 1. — С. 51–68.
  11. Дубровин, Б.А. Периодический и условно периодический аналоги многосолитонных решений уравнения Кортевега–де Фриза / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков // Журн. эксп. и теор. физики. — 1974. — Т. 67, № 6. — С. 2131–2143.
  12. Итс, А.Р. Явные формулы для решений нелинейного уравнения Шрёдингера / А.Р. Итс, В.П. Котляров // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1976. — Т. 10, № 11. — С. 965–968.
  13. Теория солитонов. Метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Пи- таевский. — М. : Наука, 1980. — 319 с.
  14. Левитан, Б.М. Оценка функции Коши в случае конечнозонных непериодических потенциалов / Б.М. Левитан, А.Б. Хасанов // Функц. анализ и его прил. — 1992. — Т. 26, № 2. — С. 18–28.
  15. Ince, E.L. Further investigations into the periodic Lam functions / E.L. Ince // Proc. R. Soc. Edinb. Sect. A. — 1940. — V. 60, № 1. — P. 89–99.
  16. Treibich, A. Tangential polynomials and elliptic solitons / A. Treibich // Duke Math. J. — 1989. — V. 59, № 3. — P. 611–627.
  17. Ince, E.L. A proof of the impossibility of the coexistence of two Mathien functions / E.L. Ince // Proc. Camb. Philos. Soc. — 1922. — V. 21. — P. 117–120.
  18. Джаков, П.Б. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредингера и Ди- рака / П.Б. Джаков, В.С. Митягин // Успехи мат. наук. — 2006. — Т. 61, № 4. — С. 77–182.
  19. Хасанов, А.Б. Обратная задача на полуоси для оператора Штурма–Лиувилля с периодическим потенциалом / А.Б. Хасанов, А.Б. Яхшимуратов // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 1. — С. 24–33.
  20. Хасанов, А.Б. Интегрирование нелинейного уравнения типа Хироты с младшими членами / А.Б. Хасанов, Р.Х. Эшбеков, Т.Г. Хасанов // Изв. РАН. Сер. матем. — 2025. — Т. 89, № 1. — С. 208–232.
  21. Маннонов, Г.А. Задача Коши для нелинейного уравнения Хироты в классе периодических бесконечнозонных функций / Г.А. Маннонов, А.Б. Хасанов // Алгебра и анализ. — 2002. — Т. 34, № 5. — С. 139–172.
  22. Хасанов, А.Б. Задача Коши для уравнения Кортевега–де Фриза в классе периодических бес- конечнозонных функций / А.Б. Хасанов, Т.Г. Хасанов // Зап. науч. сем. ПОМИ. — 2021. — Т. 506. — С. 258–278.
  23. Хасанов, А.Б. Задача Коши для нелинейного комплексного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза (кмКдФ) с дополнительными членами в классе периодических бесконеч- нозонных функций / А.Б. Хасанов, Т.Г. Хасанов // Сиб. мат. журн. — 2024. — Т. 65, № 4. — С. 735–759.
  24. Melnikov, V.K. Integration of the nonlinear Schro¨dinger equation with a self-consistent source / V.K. Melnikov // Commun. Math. Phys. — 1991. — Т. 137. — С. 359–381.
  25. Яхшимуратов, А.Б. Интегрирование нелинейной системы Шредингера высшего порядка с са- мосогласованным источником в классе периодических функций / А.Б. Яхшимуратов // Теор. и мат. физика. — 2020. — Т. 202, № 2. — С. 157–169.
  26. Мисюра, Т.В. Характеристика спектров периодической и антипериодической краевых задач, порождаемых операцией Дирака. I / Т.В. Мисюра // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1978. — Т. 30. — С. 90–101.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences