МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается регуляризация принципа Лагранжа (ПЛ) в недифференциальной форме в нелинейной (невыпуклой) задаче на условный экстремум с операторным ограничением-равенством в гильбертовом пространстве. Множество ее допустимых элементов принадлежит полному метрическому пространству, существование решения задачи априори не предполагается. Ограничение-равенство содержит аддитивно входящий в него параметр, что обеспечивает возможность применения для исследования задачи “нелинейного варианта” метода возмущений. Основное предназначение регуляризованного ПЛ—устойчивое генерирование обобщенных минимизирующих последовательностей (ОМП) в рассматриваемой нелинейной задаче. Его можно трактовать как ОМП-образующий (регуляризирующий) оператор, ставящий в соответствие каждому набору исходных данных задачи субминималь (минималь) ее отвечающего этому набору регулярного модифицированного функционала Лагранжа (МФЛ), двойственная переменная в котором генерируется в соответствии с процедурой стабилизации по Тихонову двойственной задачи. КонструкцияМФЛполностью определяется видом “нелинейных” субдифференциалов полунепрерывной снизу и, вообще говоря, невыпуклой функции значений как функции параметра задачи. В качестве таких субдифференциалов используются хорошо известные в негладком (нелинейном) анализе проксимальный субградиент и субдифференциал Фреше. Регуляризованный ПЛ “преодолевает” свойства некорректности классического аналога и может трактоваться как регуляризирующий алгоритм, составляя тем самым теоретическую основу для создания устойчивых методов практического решения нелинейных задач на условный экстремум. Библ. 32.

Об авторах

М. И. Сумин

ТГУ им. Г.Р. Державина

Email: m.sumin@mail.ru
Тамбов; Россия

Список литературы

  1. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. В 2-х томах. 2-е изд. М.–Л.: Гостехиздат, 1950. 603+442 c.
  2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.
  3. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука, 1986. 192 с.
  4. Аваков Е.Р., Магарил-Ильяев Г.Г., Тихомиров В.М. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений // Успехи матем. наук. 2013. Т. 68. Вып. 3(411). С. 5–38.
  5. Васильев Ф.П. Методы оптимизации: в 2-х кн. М.: МЦНМО, 2011. 1056 с.
  6. Сумин М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна-Таккера в гильбертовом пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 9. С. 1594–1615.
  7. Сумин М.И. Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 1. С. 25–49.
  8. Сумин М.И. Регуляризованные принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в оптимальном управлении и обратных задачах // Тр. Ин-та матем. и механ. УрО РАН. 2019. Т. 25. № 1. C. 279–296.
  9. Сумин М.И. О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа // Вестн. российских университетов. Математика. 2022. Т. 27. Вып. 137. С. 58–79.
  10. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.
  11. Сумин М.И. Недифференциальные теоремы Куна–Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа // Вестн. российских университетов. Математика. 2020. Т. 25. Вып. 131. С. 307–330.
  12. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.
  13. Сумин М.И. Регуляризация в линейно выпуклой задаче математического программирования на основе теории двойственности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 4. С. 602–625.
  14. Сумин М.И. Регуляризованный двойственный метод решения нелинейной задачи математического программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 5. С. 796–816.
  15. Сумин М.И. Устойчивая секвенциальная теорема Куна–Таккера в итерационной форме или регуляризованный алгоритм Удзавы в регулярной задаче нелинейного программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 6. С. 947–977. doi: 10.7868/S0044466915060137 .
  16. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971. 352 с.
  17. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.
  18. Сумин М.И. Метод возмущений и регуляризация правила множителей Лагранжа в выпуклых задачах на условный экстремум // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2024. Т. 30. № 2. C. 203–221.
  19. Сумин М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26. № 2. C. 252–269. doi: 10.21538/01344889-2020-26-2-252-269.
  20. Сумин М.И.ОрегуляризациипринципаЛагранжаипостроенииобобщенныхминимизирующихпоследовательностей в выпуклых задачах условной оптимизации // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30. Вып. 3. С. 410–428.
  21. Borwein J.M., Strojwas H.M. Proximal Analysis and Boundaries of Closed Sets in Banach Space, Part I: Theory // Can. J. Math. 1986. V.38. No.2. P.431-452; Part II: Applications // Can. J. Math. 1987. V. 39. No 2. P. 428–472.
  22. Loewen P.D. Optimal control via nonsmooth analysis. CRM Proceedings and Lecture Notes. Vol. 2. Providence, RI: AMS, 1993. 153 p. DOI: https://doi.org/10.1090/crmp/002
  23. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P.R. Nonsmooth analysis and control theory. Graduate texts in mathematics. V. 178. New York: Springer-Verlag, 1998. 278 p. DOI: https://doi.org/10.1007/b97650
  24. Mordukhovich B.S. Variational analysis and generalized differentiation, I: Basic Theory. Berlin: Springer, 2006. 579 p. DOI: https://doi.org/10.1007/3-540-31247-1
  25. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.
  26. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1990. 488 с.
  27. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа. Теория и методы оптимизации. М.: Наука, 1989. 399 с.
  28. Сумин М.И. Метод возмущений, субдифференциалы негладкого анализа и регуляризация правила множителей Лагранжа в нелинейном оптимальном управлении // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 3. C. 202–221.
  29. Сумин М.И. О регуляризации недифференциальной теоремы Куна–Таккера в нелинейной задаче на условный экстремум // Вестн. российских университетов. Математика. 2022. Т. 27. Вып. 140. С. 351–374.
  30. Sumin M.I. Parametric Dual Regularization in a Nonlinear Mathematical Programming // In book “Advances in Mathematics Research, Volume 11”. Chapter 5. New-York: Nova Sci. Publ. Inc. 2010. P. 103–134.
  31. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988. 264 с.
  32. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 312 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024