Том 64, № 12 (2024)

Построен приближенный алгоритм вычисления интегральных операторов типа свертки, возникающих при оценивании барьерных опционов в моделях Леви методом Винера–Хопфа. Дополнительно исследован вопрос возможности применения методов машинного обучения (искусственных нейронных сетей) к аппроксимации специального вида интегралов, являющихся ключевым элементом в конструкции приближенных формул для рассматриваемых интегральных операторов Винера–Хопфа. Основная идея заключается в разложении функции цены в ряд Фурье и трансформации контура интегрирования для каждого слагаемого ряда Фурье. В результате мы получаем набор типовых интегралов, которые зависят от факторов Винера–Хопфа, но не зависят от функции цены, при этом наиболее затратная с вычислительной точки зрения часть численного метода сводится к вычислению указанных интегралов. Поскольку вычислять их нужно только один раз, а не на каждой итерации, как это было в стандартных реализациях метода Винера–Хопфа, то это существенно ускорит вычисления. Более того, для вычисления типовых интегралов можно обучить нейросеть. Предлагаемый подход особенно эффективен для спектрально односторонних процессов Леви, для которых известны явные формулы факторизации Винера–Хопфа. В этом случае мы получаем удобные для вычислений формулы путем интегрирования вдоль разреза. Главным преимуществом включения нейросетей в вычислительную схему является возможность проводить вычисления на неравномерной сетке. Такой гибридный численный метод сможет успешно конкурировать с классическими методами вычислений сверток в подобных задачах с помощью быстрого преобразования Фурье. Вычислительные эксперименты показывают, что нейросети с одним скрытым слоем из 20 нейронов способны эффективно справляться с задачами аппроксимации рассматриваемых вспомогательных интегралов. Библ. 25. Фиг. 2. Табл. 1.

Получены функциональные соотношения, которые позволяют оценивать точность приближенных решений в терминах мер, существенно отличных от энергетических норм, которые обычно используются для этих целей. В частности, они применимы к локальным нормам и мерам, построенным с помощью специально построенных линейных функционалов. Потребность в таких инструментах контроля точности возникает, если имеется особый интерес к поведению решения в некоторой подобласти или к специальным свойствам решения. Показано, что апостериорные оценки функционального типа, которые ранее использовались для глобальных оценок, могут быть адаптированы и для решения этой задачи. Получены функциональные тождества и оценки, позволяющие оценивать погрешность любых конформных аппроксимаций в терминах широкого класса мер, включающих локальные нормы и проблемно-ориентированные функционалы. Теоретические результаты проверены в серии примеров, которые подтверждают эффективность предлагаемого метода. Библ. 13. Фиг. 10. Табл. 10.

Строятся квадратурные формулы для сингулярных интегралов на отрезке интегрирования [–1, 1] с определенными весовыми функциями

Введенное Г. Бейтманом в 1915 г. и изученное Й. М. Бюргерсом в 1948 г. уравнение Бюргерса нашло широкое применениевмеханикежидкости,нелинейнойакустикеидругихобластяхприкладнойматематики.Подходы к его решению были самые разнообразные: асимптотические, численные, аналитические. В данной работе развивается аналитический метод решения уравнения типа Бюргерса в банаховом пространстве. А именно, после искусственного введения в уравнение малого параметра доказывается существование аналитического по этому параметру решения. При этом, рассматривается также и многомерный вариант уравнения Бюргерса. Библ. 16.

Рассмотрена актуальная задача моделирования нелинейных волновых процессов в СВЧ-генераторе с магнитной изоляцией. Для ее численного анализа предложена новая компьютерная модель, включающая уравнения Максвелла и уравнения движения релятивистских заряженных частиц, совместное их интегрирование методом сеток и методом облачных частиц, а также параллельную программную реализацию. В численных экспериментах получены пространственно-временные характеристики релятивистских электронных пучков и плазмы, а также параметры выходного излучения генератора. Анализ полученных результатов подтвердил корректность разработанного численного подхода. Библ. 17. Фиг. 7.