Моделирование решения акустической обратной задачи рассеяния для трехмерной нестационарной среды

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Рассматривается обратная задача акустического зондирования трехмерной нестационарной среды, основанная на задаче Коши для волнового уравнения с коэффициентом скорости звука, зависящим от пространственных координат и времени. Данными в обратной задаче являются измерения акустического давления, зависящего от времени, в некоторой пространственной области. По этим данным необходимо определить меняющиеся со временем положения локальных акустических неоднородностей (пространственных распределений скорости звука). Используется специальная идеализированная модель зондирования, в которой, в частности, предполагается, что пространственное распределение скорости звука мало меняется в промежутке между временными импульсами источника. В рамках такой модели обратная задача сводится к решению для каждого временного отрезка зондирования трехмерных линейных интегральных уравнений Фредгольма. По этим решениям вычисляются пространственные распределения скорости звука на каждом временном интервале зондирования. При включении в схему зондирования специальной (плоскослойной) геометрической схемы расположения областей наблюдения и зондирования, оказывается, что обратную задачу можно свести к решению систем одномерных линейных интегральных уравнений Фредгольма, для решения которых используются известные методы регуляризации некорректных задач. Это позволяет решать трехмерную обратную задачу определения нестационарного распределения скорости звука в зондируемой среде на персональном компьютере средней производительности для достаточно подробных пространственных сеток за несколько минут. Эффективность соответствующего алгоритма решения трехмерной нестационарной обратной задачи зондирования в случае движущихся локальных акустических неоднородностей иллюстрируется решением ряда модельных задач.

Full Text

Restricted Access

About the authors

А. Б. Бакушинский

Институт системного анализа ФИЦ ИУ РАН; Марийский государственный университет

Email: asleonov@mephi.ru
Russian Federation, 117312, Москва, пр-т 60-летия Октября, 9; 424000, Республика Марий Эл, Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1

А. С. Леонов

Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”

Author for correspondence.
Email: asleonov@mephi.ru
Russian Federation, 115409, Москва, Каширское ш., 31

References

  1. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Государственное издательство технико-математической литературы, 1953.
  2. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
  3. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. CRC Press, 2000.
  4. Лаврентьев М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // Докл. Акад. наук СССР. 1964. Т. 157. № 3. С. 520–521.
  5. Аниконов Ю.Е. Теорема единственности решения обратной задачи для волнового уравнения // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 2. С. 211–214.
  6. Бухгейм А.Л., Яхно В.Г. О двух обратных задачах для дифференциальных уравнений // Докл. Акад. Наук СССР. 1976. Т. 229. № 4. С. 785–786.
  7. Ramm A.G. Multidimensional Inverse Scattering Problems. Pitman Monogr. Surv. Pure Appl. Math. 51. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1992.
  8. Beilina L., Klibanov M.V. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. New York: Springer, 2012.
  9. Kabanikhin S.I., Satybaev A.D., Shishlenin M.A. Direct Methods of Solving Multidimensional Inverse Hyperbolic Problems. Utrecht: VSP, 2004.
  10. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. V. 23. № 5. P. 1–67.
  11. Пестов Л.Н., Болгова В.М., Данилин А.Н. Численная реконструкция трехмерной скорости звука методом граничного управления // Вестн. Югорского государственного ун-та. 2011. Вып. 3. С. 92–98.
  12. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. 2nd ed. Appl. Math. Sci. 93. Berlin: Springer, 1998.
  13. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989.
  14. Буров В.А., Румянцева О.Д. Обратные волновые задачи акустической томографии. Часть 2. Обратные задачи акустического рассеяния. М.: ЛЕНАНД, 2020.
  15. Bakushinsky А., Goncharsky А. Ill-Posed Problems: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994.
  16. Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu. Iterative methods for approximate solution of inverse problems. Mathematics and Its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004.
  17. Гончарский А.В., Романов С.Ю. О двух подходах к решению коэффициентных обратных задач для волновых уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 2. С. 263–269.
  18. Гончарский А.В., Романов С.Ю. Суперкомпьютерные технологии в разработке методов решения обратных задач в УЗИ-томографии // Вычисл. методы и программирование: новые вычисл. технологии. 2012. Т. 13. № 1. С. 235–238.
  19. Евстигнеев Р.О., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г., Цупак А.А. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии // Изв. выс. учеб. завед. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2017. T. 44. № 4. С. 3–17.
  20. Новиков P.Г. Восстановление двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии // Функцион. анализ и его прил. 1986. Т. 20. № 3. С. 90–91.
  21. Буров В.А., Алексеенко Н.В., Румянцева О.Д. Многочастотное обобщение алгоритма Новикова для решения обратной двумерной задачи рассеяния // Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 6. С. 784–798.
  22. Буров В.А., Вечерин С.Н., Морозов С.А., Румянцева О.Д. Моделирование точного решения обратной задачи акустического рассеяния функциональными методами // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 4. С. 516–536.
  23. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во Московского ун-та, 1993.
  24. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: ГИТТЛ, 1951.
  25. Бакушинский А.Б., Леонов А.С. К численному решению обратной многочастотной задачи скалярной акустики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 6. С. 1013–1026.
  26. Бакушинский А.Б., Леонов А.С. Быстрый алгоритм решения трехмерной обратной многочастотной задачи скалярной акустики с данными в цилиндрической области // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 2. С. 289–304.
  27. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. Изд. 2. М.: КУРС, 2017.
  28. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. Изд. 2. М: Либроком, 2013.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Fig. 1. An example of the source function F0(x, t) at a fixed x.

Download (18KB)
Indexing metadata
3. Fig. 2. Geometric scheme of data registration of the inverse problem: X is the area of acoustic inhomogeneities, Y is the area of data registration uk(x, ω), asterisks are possible positions of field sources.

Download (23KB)
Indexing metadata
4. Fig. 3. Model geometric scheme of sensing. The moving inhomogeneity is represented at discrete moments of time as the surface of the level of the function δc(x, t) (at the level of 0.5 of its maximum value). Asterisks conditionally show the location of the source.

Download (25KB)
Indexing metadata
5. Fig. 4. (a) – Comparison of the exact solution and the approximate solution for exact data (δ = 0). (b) – Approximate solutions for perturbed data with δ = 10-6 and δ = 10-4.

Download (41KB)
Indexing metadata
6. Fig. 5. (a) – Comparison of the exact trajectory (solid line) and the found approximate trajectories (line with circles): (a) – for undisturbed data (δ = 0), (b) – for disturbed data with δ = 10-6.

Download (33KB)
Indexing metadata
7. Fig. 6. Comparison of (a) – exact and (b) – approximate solutions for accurate data.

Download (24KB)
Indexing metadata
8. Fig. 7. Approximate solutions for different levels of data errors: (a) – δ = 10-6, (b) – δ = 10-4.

Download (31KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences