Том 61, № 9 (2025)

Исследован вопрос существования и единственности классического решения смешанной задачи в полуполосе для нелинейного уравнения Лиувилля. Решение представлено в неявном виде как решение интегрального уравнения, разрешимость которого доказана с помощью теоремы Лере–Шаудера, а соответствующая априорная оценка получена с помощью энергетических методов.

Рассмотрено модельное эллиптическое псевдодифференциальное уравнение в многомерном конусе, являющееся прямым произведением конусов меньшей размерности, в пространстве Соболева–Слободецкого. При наличии специальной факторизации символа выписано общее решение уравнения, содержащее произвольные функции из определённых пространств Соболева–Слободецкого. Приведён пример в трёхмерном пространстве, где неизвестные функции определяются с помощью условий Дирихле на части границы сведением к системе линейных интегральных уравнений.

Исследованы первые краевые задачи (внутренняя и внешняя) двумерного фильтрационного течения жидкости в неоднородном пористом слое переменных толщины и проницаемости. Заданные дискретные источники течения располагаются в области течения и моделируются сингулярностями (изолированными особыми точками) комплексного потенциала. Граница области течения моделируется произвольным гладким (кусочно-гладким) замкнутым контуром. На границе задаётся функция, характеризующая распределение давления на ней и имеющая разрывы первого рода. Предложен метод регуляризации (сглаживания) краевого условия, позволивший редуцировать задачи к граничному сингулярному интегральному уравнению со слабой особенностью и гладкой правой частью. Данный метод регуляризации применён к решению граничной задачи, моделирующей работу системы скважин в неоднородном слое (пласте) грунта, на контуре питания которого заданное распределение давления (обобщённый потенциал) терпит разрывы первого рода.

Рассмотрено двумерное гиперсингулярное интегральное уравнение в выпуклой ограниченной области, границей которой является гладкая кривая. Уравнение содержит интегральный оператор с интегралом, понимаемым с смысле конечной части по Адамару. Исследован вопрос существования решений, имеющих степенную особенность в окрестности границы области: решение ищется в классе функций, представляющих собой отношения гладкой функции и корня из расстояния от точки до края. Установлено, что при действии интегрального оператора со степенной полярной особенностью третьего порядка на функцию из класса, в котором ищется решение, возникает функция, непрерывная по Гёльдеру на всей области. Доказано существование решения гиперсингулярного уравнения, имеющего указанную степенную особенность в окрестности границы области, представлено граничное условие, при котором такое решение является единственным.

Рассмотрена задача Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с разностными ядрами в конечномерном гильбертовом пространстве. Данный класс уравнений возникает при математическом моделировании широкого спектра нестационарных процессов с учётом эффектов памяти, включая, в частности, систему уравнений Максвелла. Для численного решения применён метод сведения исходной нелокальной задачи к эквивалентной системе локальных дифференциальных уравнений первого порядка на основе аппроксимации ядер конечной суммой экспоненциальных функций. Предложены двухслойные операторно-разностные схемы, для которых проведён анализ устойчивости по начальным данным и правой части. Корректность предложенного подхода подтверждена теоретическим анализом.